Kalkulator kryterium Kelly'ego

Kalkulator Kelly'ego oblicza udział bankrolla przeznaczony na zakład na podstawie kursu oraz Twojego oszacowania prawdopodobieństwa. Wprowadź dane, aby porównać pełnego Kelly'ego, połowę i ćwierć. Wynik zależy od poprawności oszacowania i może wskazywać, że nie należy zawierać zakładu.

Czym jest kryterium Kelly'ego?

Kryterium Kelly'ego to wzór maksymalizujący oczekiwany logarytmiczny wzrost kapitału w modelu powtarzanych zakładów przy znanych prawdopodobieństwach i kursach. John Kelly przedstawił go w 1956 roku w ramach teorii informacji. Wzór stosuje się także do analizy zakładów i inwestycji.

Metoda dostosowuje stawkę do oszacowanej przewagi i dostępnego kapitału. Stawka wyższa niż udział Kelly'ego zwiększa ekspozycję i może obniżyć oczekiwany wzrost. Mniejsza stawka zwykle ogranicza zmienność kosztem niższego oczekiwanego wzrostu w modelu.

Dodatnia stawka wymaga oszacowanego prawdopodobieństwa wyższego niż próg wynikający z kursu oraz wiarygodnego oszacowania. Kurs 2.00 oznacza próg 50%. Przy oszacowaniu 55% Kelly wskazuje dodatni udział bankrolla, ale nie dowodzi, że 55% jest poprawne. Więcej w sekcji zaawansowanych strategii zakładów.

Wzór Kelly'ego

Dodatnie f* oznacza dodatnią wartość oczekiwaną według użytego prawdopodobieństwa. Przy wyniku zerowym lub ujemnym udział przeznaczony na zwykły zakład wynosi 0%: model nie wskazuje dodatniej stawki.

Przykład: kurs 2.50 i oszacowane prawdopodobieństwo 45%.

Jak korzystać z kalkulatora Kelly'ego

1. Wprowadź kurs — kurs dziesiętny oferowany przez Fonbet, Winline lub innego bukmachera
2. Oszacuj prawdopodobieństwo — podaj własne oszacowanie w procentach na podstawie statystyk, materiałów analitycznych i swojej metody
3. Wprowadź bankroll — aktualny kapitał przeznaczony na zakłady, w jednostkach
4. Sprawdź wynik — porównaj obliczoną stawkę z bardziej zachowawczymi ułamkami Kelly'ego

Wynik 0% oznacza, że według Twojego oszacowania kurs nie daje dodatniej wartości oczekiwanej. Możesz sprawdzić tę zależność w kalkulatorze value bet.

Zalety i ograniczenia kryterium Kelly'ego

Kelly daje matematyczne ramy do ustalania stawek. Wynik pozostaje zależny od założeń i poniższych ograniczeń.

Połowa lub ćwierć Kelly'ego ogranicza ekspozycję. Przy małej przewadze przybliżenie daje połowie Kelly'ego około 75% oczekiwanego logarytmicznego wzrostu pełnego Kelly'ego. Nie jest to uniwersalny stosunek. Ceny rynku można dodatkowo sprawdzić w kalkulatorze marży.

Kelly krok po kroku

Prześledźmy przykład z konkretnymi liczbami i kwotami w neutralnych jednostkach.

Dane. Spartak — Dynamo w lidze rosyjskiej. Kurs na zwycięstwo Spartaka wynosi 2.10. Po analizie xG z 10 ostatnich spotkań, formy u siebie i składów oceniasz szanse zwycięstwa na 55%. Bankroll wynosi 30 000 jednostek.

Krok 1: określamy zmienne.

Krok 2: podstawiamy do wzoru.

Krok 3: obliczamy stawkę. Przy użyciu zaokrąglonego udziału 14.1% stawka wynosi 30 000 * 0.141 = 4 230 jednostek. Po wygranej bankroll wzrósłby do 30 000 + 4 230 * 1.10 = 34 653 jednostek, a po przegranej spadłby do 25 770. Obliczenie bez wcześniejszego zaokrąglenia f* daje nieco inną kwotę.

Krok 4: sprawdzamy wrażliwość. Załóżmy, że rzeczywiste prawdopodobieństwo wynosi 50% zamiast 55%:

Przy 50% udział wynosi około 4.5%, czyli około trzy razy mniej. Różnica 5 punktów procentowych w oszacowaniu mocno zmienia stawkę. To jeden z powodów stosowania ułamkowego Kelly'ego.

Przy oszacowaniu 47% wynik wynosi f* = (0.47 * 1.10 − 0.53) / 1.10 ≈ −0.0118. Udział jest ujemny, więc stawka wynosi 0%. Kurs 2.10 nie daje dodatniej wartości oczekiwanej według tego oszacowania.

Krok 5: odróżniamy wyniki meczu od wyników zakładu. Prosty wzór opisuje zakład wygrany albo przegrany. Mecz piłkarski zwykle ma trzy możliwe wyniki, ale przy zakładzie na gospodarza p oznacza jego zwycięstwo, a q remis lub porażkę. Zwroty i częściowe rozliczenia wymagają odpowiedniego modelu.

Zapisuj oszacowanie prawdopodobieństwa, kurs, stawkę i wynik. Po 100 zakładach można wstępnie porównać oszacowania z częstością wygranych, ale niepewność nadal jest duża. Widoczna różnica 3–5 punktów nie uzasadnia automatycznie konkretnej korekty: oceń kalibrację i wielkość próby. Marża bukmachera wpływa na kursy, lecz użycie rzeczywiście dostępnego kursu nie zniekształca samo w sobie wzoru Kelly'ego.

Ułamkowy Kelly: ograniczanie ekspozycji

Pełny Kelly jest optymalny dla oczekiwanego logarytmicznego wzrostu przy założeniach modelu, ale może prowadzić do dużych obsunięć kapitału. Ułamkowy Kelly mnoży obliczony udział przez współczynnik mniejszy niż 1.

Pełny Kelly i trzy przykładowe ułamki:

Kolumna wzrostu używa przybliżenia małej przewagi 2c − c², gdzie c jest mnożnikiem Kelly'ego. Nie przedstawia gwarantowanego zwrotu. Połowa Kelly'ego może ograniczać wahania, lecz nie musi zmniejszyć maksymalnego obsunięcia o połowę. Dla bankrolla 30 000 i 100 zakładów końcowa różnica zależy od wyników, więc nie można z góry ustalić jej na 10–15%.

Wybór ułamka:

• Pełny Kelly — wymaga wiarygodnego modelu i tolerancji dużych wahań. Deklarowana pewność 90%+ nie jest testem poprawności modelu.
• Połowa Kelly'ego — możliwość ograniczenia ekspozycji przy regularnie ocenianych oszacowaniach. Bankroll 10 000 jednostek nie jest matematycznym progiem.
• Ćwierć Kelly'ego — bardziej zachowawczy wariant przy ograniczonych danych, na przykład na początku sezonu lub w słabo znanej lidze.
• Jedna dziesiąta Kelly'ego — jeszcze mniejszy udział, który nie jest automatycznie stałą stawką 1–2%, ponieważ nadal zależy od oszacowanej przewagi.

Stosuj spójną regułę zamiast zmieniać mnożnik pod wpływem emocji. W modelu stawek proporcjonalnych kwota jest przeliczana przed każdym kolejnym zakładem na podstawie dostępnego kapitału. Przeliczanie jedynie co 10–20 zakładów jest innym schematem i może dawać inne wyniki. Przy zakładach równoczesnych trzeba uwzględnić już zaangażowany kapitał.

Przykład serii. Bankroll 20 000, kursy 2.00 i oszacowane p = 55% wobec 50% wynikających z kursu dają pełnego Kelly'ego 10% i połowę 5%, czyli początkowo 1 000 jednostek. Przy przeliczaniu stawki po każdym zakładzie 12 wygranych i 8 przegranych z 20 zakładów daje 20 000 × 1.05¹² × 0.95⁸ ≈ 23 828.16 jednostek. Pełny Kelly dla tej samej serii daje 20 000 × 1.10¹² × 0.90⁸ ≈ 27 019.81. Pięć kolejnych przegranych od kapitału 20 000 pozostawia około 11 809.80 przy pełnym Kellym i 15 475.62 przy połowie. Przy rzeczywistym p = 55% i niezależnych zakładach prawdopodobieństwo pięciu przegranych w jednym określonym bloku pięciu wynosi 0.45⁵ ≈ 1.85%. Prawdopodobieństwo takiej serii gdziekolwiek w dłuższej sekwencji jest inne.

Po przegranych proporcjonalna stawka automatycznie maleje. Nie gwarantuje to ochrony przed każdą stratą ani przed spadkiem bankrolla poniżej użytecznej wartości. Podwajanie stawek w celu odegrania strat wykracza poza model. Inną formą ograniczania ekspozycji jest hedging, który pozwala zabezpieczyć zysk tylko przy odpowiednich kursach i stawkach.

Kelly i value bet: powiązanie metod

Value bet ocenia oczekiwany zwrot zakładu, a Kelly — udział kapitału przeznaczony na niego. Oba obliczenia opierają się na oszacowaniu prawdopodobieństwa. Dodatnią wartość oczekiwaną można też łączyć z innymi metodami ustalania stawki.

Value bet. Kurs 2.50 oznacza 40% prawdopodobieństwa wynikającego z kursu. Przy oszacowaniu 45% różnica wynosi 5 punktów procentowych, natomiast oczekiwany zwrot netto to 12.5% stawki. Tych dwóch miar nie należy utożsamiać. Kalkulator value bet pokazuje tę zależność.

Value we wzorze Kelly'ego. W równaniu f* = (p*b − q) / b licznik p*b − q jest oczekiwanym zyskiem netto na jednostkę stawki. Jeśli jest dodatni, zakład ma dodatnią wartość oczekiwaną według p. Przy stałym kursie f* rośnie wraz z oszacowaną przewagą.

Trzy przykłady przy jednakowym kursie 2.00:

Przy tym kursie przewaga 2 punktów daje udział 4%, a 10 punktów — 20%. Wyższy udział mocno zwiększa ekspozycję. W modelu jego zasadność zależy od wiarygodności oszacowania; nie oznacza gwarancji zysku.

Przykładowy sposób pracy:

1. Znajdź potencjalne value i sprawdź je w kalkulatorze value bet.
2. Jeśli oszacowanie przewyższa próg wynikający z kursu, oblicz Kelly'ego, nie traktując oszacowania jako dowiedzionej wartości.
3. Rozważ mnożnik 0.25–0.5 odpowiednio do niepewności.
4. Osobisty limit 5% może ograniczać ekspozycję. Jest to dodatkowa reguła, a nie gwarancja ani uniwersalny wymóg Kelly'ego.
5. Regularnie oceniaj jakość oszacowań. Seria 20–30 zakładów jest zbyt krótka, aby sama rozstrzygała o ich poprawności.

Kalkulator ROI pozwala śledzić zarejestrowane wyniki. Dodatni ROI w próbie 200+ zakładów nie potwierdza automatycznie poprawności modelu ani nie uzasadnia samodzielnie zwiększenia udziału z ćwierci do połowy Kelly'ego.

Częsty błąd: Kelly bez przewagi. Użycie tylko prawdopodobieństwa wynikającego z kursu, na przykład 50% przy 2.00, daje 0%. Model nie widzi wówczas przewagi. Dodatnia stawka wymaga oszacowania wyższego od progu opłacalności, a nie po prostu innego.

Zakłady równoczesne wymagają uwzględnienia łącznego ryzyka. Prosty wzór opisuje jedną pozycję; 3–5 otwartych zakładów może tworzyć dużą lub skorelowaną ekspozycję. Podzielenie udziałów przez liczbę zakładów jest możliwą regułą ostrożności, ale nie uniwersalną optymalizacją portfela.

Kelly nie musi przewyższać stałej stawki po 500+ zakładach, a skuteczność nie stabilizuje się automatycznie po 300. Udziały 5–10% przy kursie 1.50 albo 2–3% przy 4.00 są jedynie możliwymi przykładami; bez p nie da się ich obliczyć. Błędne oszacowanie może prowadzić do zbyt dużych stawek. Marża wpływa na ceny: używaj rzeczywiście dostępnego kursu i niezależnego oszacowania prawdopodobieństwa.

Inne kalkulatory

• Kalkulator marży — sprawdź marżę rynku wynikającą z kursów
• Kalkulator value bet — oceń wartość oczekiwaną według własnego oszacowania
• Kalkulator AKO — łączny kurs i potencjalna wypłata
• Kalkulator zakładów systemowych — kombinacje systemu
• Konwerter kursów — format dziesiętny, ułamkowy i amerykański
• Kalkulator hedgingu — stawka zabezpieczająca i porównanie wyników